A~B 사이 병렬 분기관 3개의 유량 분배

문제

물음 3) 그림과 같이 A지점으로 물이 유입되어 B지점으로 유출되고 있다. A~B 사이에 있는 세 개 분기관의 내경이 40 mm라고 할 때 각 분기관으로 흐르는 유량을 계산하시오. (8점)

〈조건〉

• 배관의 마찰손실압력을 구하는 공식은 다음과 같다. $\Delta P=6.174\times10^4\times\dfrac{Q^{1.85}}{C^{1.85}\times D^{4.87}}\times L$ (ΔP: 마찰손실압력(MPa), Q: 유량(L/min), C: 조도(120), D: 배관경(mm), L: 배관길이(m))
• 유입점과 유출점에는 1,000 L/min의 유량이 흐르고 있다.
• 90도 엘보의 등가길이는 2 m이며, A와 B 두 지점의 배관부속 마찰손실은 무시한다.
• 계산값은 소수점 셋째자리에서 반올림하여 둘째자리까지 구하시오.

핵심 키워드

• 병렬배관: 각 경로 손실이 같다, 유량 합 = 1,000 L/min
• 관경·C가 같으면 $Q\propto L^{-1/1.85}$

답안

1. 경로별 등가길이

경로	직관	엘보	등가길이
Q1	15 + 20 + 15 = 50 m	2개 × 2 m	54 m
Q2	20 m	없음	20 m
Q3	5 + 20 + 5 = 30 m	2개 × 2 m	34 m

2. 손실 평형

C와 D가 같으므로 $\Delta P_1=\Delta P_2=\Delta P_3$에서 $Q_1^{1.85}L_1=Q_2^{1.85}L_2=Q_3^{1.85}L_3$

$$Q_1=Q_2\left(\frac{20}{54}\right)^{\frac{1}{1.85}}=0.5846\,Q_2,\qquad Q_3=Q_2\left(\frac{20}{34}\right)^{\frac{1}{1.85}}=0.7506\,Q_2$$ $$Q_1+Q_2+Q_3=(0.5846+1+0.7506)\,Q_2=1{,}000$$ $$Q_2=428.23\ \text{L/min}$$

3. 각 분기관 유량

• $Q_1=0.5846\times428.23=$ 250.33 L/min
• $Q_2=$ 428.23 L/min
• $Q_3=0.7506\times428.23=$ 321.45 L/min

검산: 세 경로 손실 모두 $\Delta P\approx0.20\ \text{MPa}$로 같다.

근거

• 병렬로 연결된 배관은 시작점과 끝점이 같으므로 경로별 마찰손실압력이 같고, 유량의 합은 유입 유량과 같다.
• Hazen–Williams 식에서 $\Delta P\propto Q^{1.85}L$이므로 $Q\propto L^{-0.5405}$.