돌연확대관 손실수두 유도와 계산

문제

물음 2) 아래의 그림과 같은 돌연확대관에서 손실수두를 구하는 공식을 유도하고, 중력가속도 g = 9.8 m/s², 직경 D₁ = 50 mm, D₂ = 400 mm, 유량 Q = 800 L/min일 때 돌연확대관에서의 손실수두(m)를 계산하시오. (단, V₁, V₂는 각 지점의 유속이며, 계산값은 소수점 셋째자리에서 반올림하여 둘째자리까지 구하시오.) (10점)

핵심 키워드

• 확대 직후 단면의 압력 ≈ $p_1$ (와류 영역)
• 운동량: $(p_1-p_2)A_2=\rho Q(V_2-V_1)$
• 결과: $h_L=\dfrac{(V_1-V_2)^2}{2g}$ (Borda–Carnot)

답안

1. 공식 유도

확대부 직후 단면(①, 면적 $A_2$)과 흐름이 다시 균일해진 단면(②)을 검사체적으로 잡는다. 확대부 모서리는 와류 영역이라 그 면의 압력은 $p_1$과 같다고 본다. 벽면 마찰은 무시한다.

① 연속방정식: $Q=A_1V_1=A_2V_2$

② 운동량 방정식(흐름 방향):

$$p_1A_2-p_2A_2=\rho Q(V_2-V_1)=\rho A_2V_2(V_2-V_1)$$ $$\frac{p_1-p_2}{\gamma}=\frac{V_2(V_2-V_1)}{g}$$

③ 에너지 방정식(수평관):

$$\frac{p_1}{\gamma}+\frac{V_1^2}{2g}=\frac{p_2}{\gamma}+\frac{V_2^2}{2g}+h_L$$ $$h_L=\frac{p_1-p_2}{\gamma}+\frac{V_1^2-V_2^2}{2g}$$

④ ②를 ③에 대입:

$$h_L=\frac{2V_2^2-2V_1V_2+V_1^2-V_2^2}{2g}=\frac{(V_1-V_2)^2}{2g}$$

연속방정식을 쓰면 $h_L=\left(1-\dfrac{A_1}{A_2}\right)^2\dfrac{V_1^2}{2g}$로도 쓸 수 있다.

2. 계산

$$Q=\frac{0.8}{60}=0.01333\ \text{m}^3/\text{s}$$ $$V_1=\frac{0.01333}{\frac{\pi}{4}\times0.05^2}=6.79\ \text{m/s},\qquad V_2=\frac{0.01333}{\frac{\pi}{4}\times0.4^2}=0.11\ \text{m/s}$$ $$h_L=\frac{(6.79-0.11)^2}{2\times9.8}=2.28\ \text{m}$$

답: 2.28 m

근거

• 돌연확대 손실(Borda–Carnot 식): 확대부 와류 영역의 압력을 상류 압력과 같다고 가정하고 운동량·에너지 방정식을 연립해 얻는다.
• 반올림하지 않은 유속(6.7906, 0.1061 m/s)으로 계산해도 2.28 m로 같다.